Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pisahkan $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3}}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $- 20 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $77 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $77$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{3}}{x y^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $y^{3}$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{x y^{2}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

Langkah 1.1.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

Langkah 1.1.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $f (\frac{y}{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $\frac{x}{y}$ dari $\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $\frac{x}{y}$ dari $\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20 x}{77 y}) + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2.1.2

Susun kembali $\frac{x}{y}$ dan $\frac{20 x}{77 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} \cdot \frac{x}{y}) + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $\frac{x}{y}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $f (\frac{y}{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $\frac{x}{y}$ dari $\frac{20 x}{77 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $\frac{x}{y}$ dari $\frac{20 x}{77 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Langkah 1.3.1.2

Susun kembali $\frac{x}{y}$ dan $\frac{20}{77}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{x}{y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali $\frac{x}{y}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Kalikan $V^{- 1}$ dengan $V^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 1 - 1}) + V$

Langkah 6.1.1.1.1.2

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 2}) + V$

Langkah 6.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{1}{V^{2}}) + V$

Langkah 6.1.1.1.3

Gabungkan.

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20 \cdot 1}{77 V^{2}} + V$

Langkah 6.1.1.1.4

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20}{77 V^{2}} + V$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $- \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + 0$

Langkah 6.1.1.2.2.2

Tambahkan $- \frac{20}{77 V^{2}}$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{20}{77 V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{x (77 V^{2})}$

Langkah 6.1.1.3.3.3

Pindahkan $77$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x V^{2}}$

Langkah 6.1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Langkah 6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Langkah 6.1.4.2

Gabungkan.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

Langkah 6.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $V^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.3.1

Faktorkan $V^{2}$ dari $- V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

Langkah 6.1.4.3.2

Faktorkan $V^{2}$ dari $77 x V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

Langkah 6.1.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

Langkah 6.1.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20 \cdot 1}{77 x}$

Langkah 6.1.4.4

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$V^{2} d V = - \frac{20}{77 x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{20}{77 x} d x$

Langkah 6.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $V^{2}$ terhadap $V$ adalah $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{20}{77 x} d x$

Langkah 6.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{20}{77 x} d x$

Langkah 6.2.3.2

Karena $\frac{20}{77}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{20}{77}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\frac{20}{77} \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 6.2.3.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 6.2.3.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{3} V^{3} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$V^{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Sederhanakan $3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1.1

Gabungkan $\ln (| x |)$ dan $\frac{20}{77}$ .

$V^{3} = 3 (- \frac{\ln (| x |) \cdot 20}{77} + C)$

Langkah 6.3.2.2.1.1.2

Pindahkan $20$ ke sebelah kiri $\ln (| x |)$ .

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77} + C)$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77}) + 3 C$

Langkah 6.3.2.2.1.3

Kalikan $3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$V^{3} = - 3 \frac{20 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

Langkah 6.3.2.2.1.3.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{20 \ln (| x |)}{77}$ .

$V^{3} = \frac{- 3 (20 \ln (| x |))}{77} + 3 C$

Langkah 6.3.2.2.1.3.3

Kalikan $20$ dengan $- 3$ .

$V^{3} = \frac{- 60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

Langkah 6.3.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V^{3} = - \frac{60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan $60 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $60$ ke dalam logaritma.

$V^{3} = - \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C$

Langkah 6.3.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$V = \sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$

Langkah 6.3.5

Sederhanakan $\sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.1

Tulis kembali $\frac{\ln ({| x |}^{60})}{77}$ sebagai $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ .

$V = \sqrt[3]{- (\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})) + 3 C}$

Langkah 6.3.5.2

Sederhanakan $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ dengan memindahkan $\frac{1}{77}$ ke dalam logaritma.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}) + 3 C}$

Langkah 6.3.5.3

Kalikan eksponen dalam ${({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{60 (\frac{1}{77})}) + 3 C}$

Langkah 6.3.5.3.2

Gabungkan $60$ dan $\frac{1}{77}$ .

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + 3 C}$

Langkah 6.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

Langkah 8.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$