Kalkulus Contoh

$2 y - 3 x + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $3 x$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x - 3$

Langkah 1.1.3

Susun kembali suku-suku.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$

Langkah 1.2

Bagilah setiap suku di $(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$ dengan $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x + 1} y = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{2}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$e^{2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (x + 1)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${(x + 1)}^{2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali ${(x + 1)}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1)$

Langkah 2.7

Perluas $(x + 1) (x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Langkah 2.7.2

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Langkah 2.7.3

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Langkah 2.8

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Langkah 2.8.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Langkah 2.8.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Langkah 2.8.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$x^{2} + x + x + 1$

Langkah 2.8.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{2} + 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.2

Kalikan $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{2}{x + 1}$ dan $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $x^{2} + 2 x + 1$ dengan $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.5

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.5.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 3.2.5.3

Tulis kembali polinomialnya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.5.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.6

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ dan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Faktorkan $x + 1$ dari ${(x + 1)}^{2} \cdot 2 y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.6.2.4

Bagilah $(x + 1) \cdot 2 y$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x + 1) \cdot 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.7

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.9

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.2.10

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $x^{2} + 2 x + 1$ dengan $\frac{3 x}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 3.3.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.3

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ dan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $x + 1$ dari ${(x + 1)}^{2} \cdot 3 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) \cdot 3 x}{1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.3.2.4

Bagilah $(x + 1) \cdot 3 x$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x + 1) \cdot 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.4

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x \cdot 3 + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.7

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x \cdot x + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.8

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.1

Pindahkan $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 (x \cdot x) + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.8.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{3}{x + 1})$

Langkah 3.3.10

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + x^{2} (- \frac{3}{x + 1}) + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Langkah 3.3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.11.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Langkah 3.3.11.2

Kalikan $2 x (- \frac{3}{x + 1})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.11.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} - 2 x \frac{3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Langkah 3.3.11.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{3}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 2 \cdot 3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Langkah 3.3.11.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Langkah 3.3.11.2.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{- 6}{x + 1}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

Langkah 3.3.11.3

Kalikan $- \frac{3}{x + 1}$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Langkah 3.3.12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.12.1

Gabungkan $\frac{3}{x + 1}$ dan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Langkah 3.3.12.2

Pindahkan $- 6$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{- 6 \cdot x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Langkah 3.3.12.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} - \frac{6 x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

Langkah 3.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 x^{2} - 6 x - 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.14.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2} - 6 x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.14.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) - 6 x - 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 6 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) - 3}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.1.3

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x - 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.14.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.14.2.1.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 2 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 (x) - 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.2.1.2

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1$ ditambah $- 1$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} + (- 1 - 1) x - 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 1 x - 1 x - 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.14.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x^{2} - 1 x) - 1 x - 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (x (- x - 1) + 1 (- x - 1))}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x - 1) (x + 1))}{x + 1}$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.14.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.3.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1 (1)) (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.3.4

Tulis kembali $- (x + 1)$ sebagai $- 1 (x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.3.5

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.3.6

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1})}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 3.3.14.3.9

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 3.3.15

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ dan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.15.1

Faktorkan $x + 1$ dari $- 3 {(x + 1)}^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 3.3.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.15.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 3.3.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 3.3.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 (x + 1)}{1}$

Langkah 3.3.15.2.4

Bagilah $- 3 (x + 1)$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 (x + 1)$

Langkah 3.3.16

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3 \cdot 1$

Langkah 3.3.17

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$

Langkah 3.4

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kurangi $3 x$ dengan $3 x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 0 - 3$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} - 3$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] = 3 x^{2} - 3$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] d x = \int 3 x^{2} - 3 d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} - 3 d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} d x + \int - 3 d x$

Langkah 7.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 \int x^{2} d x + \int - 3 d x$

Langkah 7.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 3 d x$

Langkah 7.4

Terapkan aturan konstanta.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 x + C$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 3 x + C$

Langkah 7.5.2

Sederhanakan.

$(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ dengan $x^{2} + 2 x + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ dengan $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.3.1.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 8.3.1.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.3.1.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.3.1.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.3.1.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 8.3.1.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.3.1.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

Langkah 8.3.1.4

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Langkah 8.3.1.4.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 8.3.1.4.3

Tulis kembali polinomialnya.

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Langkah 8.3.1.4.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}}$