Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{5 + 3 y}$ .

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 3 y} \cdot \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5 + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 3 y} \cdot \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x - 1}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{5 + 3 y} d y = \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{5 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 5 + 3 y$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d y$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 5 + 3 y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $5 + 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 + 3 y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 + 3 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 2.2.1.1.2.2

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$0 + 3$

Langkah 2.2.1.1.4

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$3$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 + 3 y$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \ln (| x - 1 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) = \ln (| x - 1 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |)) = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\ln (| 5 + 3 y |)$ .

$3 \frac{\ln (| 5 + 3 y |)}{3} = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{\ln (| 5 + 3 y |)}{3} = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 5 + 3 y |) = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 5 + 3 y |) = 3 \ln (| x - 1 |) + 3 C$

Langkah 3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 5 + 3 y |) - 3 \ln (| x - 1 |) = 3 C$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan $\ln (| 5 + 3 y |) - 3 \ln (| x - 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| x - 1 |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 5 + 3 y |) - \ln ({| x - 1 |}^{3}) = 3 C$

Langkah 3.4.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}) = 3 C$

Langkah 3.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}})} = e^{3 C}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}) = 3 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}$

Langkah 3.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} = e^{3 C}$ .

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} = e^{3 C}$

Langkah 3.7.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| x - 1 |}^{3}$ .

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} {| x - 1 |}^{3} = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| x - 1 |}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} {| x - 1 |}^{3} = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

Langkah 3.7.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 5 + 3 y | = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

Langkah 3.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$ .

$| 5 + 3 y | = {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$

Langkah 3.7.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$5 + 3 y = \pm {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$

Langkah 3.7.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$ .

$5 + 3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

Langkah 3.7.4.4

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$

Langkah 3.7.4.5

Bagi setiap suku pada $3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.1

Bagilah setiap suku di $3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$ dengan $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

Langkah 3.7.4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

Langkah 3.7.4.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

Langkah 3.7.4.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} - \frac{5}{3}$

Langkah 3.7.4.5.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm C {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \frac{C {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$