Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = y + \sin (x)$

Langkah 1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - y = \sin (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \sin (x)$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \sin (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \sin (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x} y = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Susun kembali $e^{- x}$ dan $\sin (x)$ .

$e^{- x} y = \int \sin (x) e^{- x} d x$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sin (x)$ dan $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x$

Langkah 7.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Langkah 7.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x$

Langkah 7.4.2

Kalikan $\int e^{- x} \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x$

Langkah 7.4.3

Susun kembali $e^{- x}$ dan $\cos (x)$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int \cos (x) e^{- x} d x$

Langkah 7.5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \cos (x)$ dan $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

Langkah 7.6

Karena $- - 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- - 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 7.7

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Langkah 7.7.2

Kalikan $\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ dengan $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

Langkah 7.8

Ketika menyelesaikan $\int e^{- x} \sin (x) d x$ , kami menemukan bahwa $\int e^{- x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$

Langkah 7.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Tulis kembali $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$ sebagai $\frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$ .

$e^{- x} y = \frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Langkah 7.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.2.1.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.2.1.1.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- \sin (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Langkah 7.9.2.1.1.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- \cos (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))}{2} + C$

Langkah 7.9.2.1.1.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Langkah 7.9.2.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (x) - \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.2.1.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{2} + C$

Langkah 7.9.2.1.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \cos (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{2} + C$

Langkah 7.9.2.1.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{2} + C$

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Langkah 7.9.2.1.3

Buang faktor negatif.

$e^{- x} y = \frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Langkah 7.9.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $e^{- x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ dengan $e^{- x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ dengan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1

Faktorkan $\frac{e^{- x}}{2}$ dari $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.1.2

Gabungkan.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{\sin (x) + \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$