Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} = y + 2 \sqrt{x y}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = y + 2 \sqrt{x y}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = y + 2 \sqrt{x y}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 \sqrt{x y}}{x}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 \sqrt{x y}}{x}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 \sqrt{x y}}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan $2$ dari $\frac{2 \sqrt{x y}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \frac{\sqrt{x y}}{x}$

Langkah 1.3

Asumsikan $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x^{2}}}$

Langkah 1.4

Gabungkan $\sqrt{x y}$ dan $\sqrt{x^{2}}$ ke dalam akar tunggal.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{x y}{x^{2}}}$

Langkah 1.5

Kurangi pernyataan $\frac{x y}{x^{2}}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{x (y)}{x^{2}}}$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{x (y)}{x \cdot x}}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{x y}{x \cdot x}}$

Langkah 1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{\frac{y}{x}}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 \sqrt{V}$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 \sqrt{V}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 \sqrt{V} - V$

Langkah 6.1.1.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $V + 2 \sqrt{V} - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2 \sqrt{V}$

Langkah 6.1.1.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $2 \sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$

Langkah 6.1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = 2 \sqrt{V}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{2 \sqrt{V}}{x}$

Langkah 6.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Faktorkan $\sqrt{V}$ dari $2 \sqrt{V}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

Langkah 6.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V} \cdot 2}{x}$

Langkah 6.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{V}$ sebagai $V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2

Pindahkan $V^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $V^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $V$ adalah $2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan.

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagi setiap suku pada $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 V^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ dengan $2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.1.2.2

Bagilah $V^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.1.3.1.2

Bagilah $\ln (| x |)$ dengan $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Langkah 6.3.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Sederhanakan ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$V^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.3.3.1.2

Sederhanakan.

$V = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 6.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2} x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam ${(\ln (| x |) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln (| x |) + C)}^{2}$