Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - 3 y + 2 = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tambahkan $3 y$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} + 2 = 3 y$

Langkah 1.1.1.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} = 3 y - 2$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = 3 y - 2$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = 3 y - 2$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 2}{x}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 2}{x}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 2}{x}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} - \frac{2}{x}$

Langkah 1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 2}{x}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{3 y - 2}$ .

$\frac{1}{3 y - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2} \cdot \frac{3 y - 2}{x}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 y - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y - 2} \cdot \frac{3 y - 2}{x}$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3 y - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{3 y - 2} d y = \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{3 y - 2} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 3 y - 2$ . Kemudian $d u = 3 d y$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 3 y - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $3 y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [3 y - 2]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y - 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 2.2.1.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 y - 2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |)) = 3 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y - 2 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\ln (| 3 y - 2 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y - 2 |)}{3} = 3 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{\ln (| 3 y - 2 |)}{3} = 3 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 3 y - 2 |) = 3 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 3 y - 2 |) = 3 \ln (| x |) + 3 C$

Langkah 3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 3 y - 2 |) - 3 \ln (| x |) = 3 C$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan $\ln (| 3 y - 2 |) - 3 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan $- 3 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 3 y - 2 |) - \ln ({| x |}^{3}) = 3 C$

Langkah 3.4.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}}) = 3 C$

Langkah 3.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}})} = e^{3 C}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}}) = 3 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}}$

Langkah 3.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} = e^{3 C}$ .

$\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} = e^{3 C}$

Langkah 3.7.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{3 C} {| x |}^{3}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| x |}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 3 y - 2 |}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{3 C} {| x |}^{3}$

Langkah 3.7.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 3 y - 2 | = e^{3 C} {| x |}^{3}$

Langkah 3.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{3 C} {| x |}^{3}$ .

$| 3 y - 2 | = {| x |}^{3} e^{3 C}$

Langkah 3.7.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$3 y - 2 = \pm {| x |}^{3} e^{3 C}$

Langkah 3.7.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm {| x |}^{3} e^{3 C}$ .

$3 y - 2 = \pm e^{3 C} {| x |}^{3}$

Langkah 3.7.4.4

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$3 y = \pm e^{3 C} {| x |}^{3} + 2$

Langkah 3.7.4.5

Bagi setiap suku pada $3 y = \pm e^{3 C} {| x |}^{3} + 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.1

Bagilah setiap suku di $3 y = \pm e^{3 C} {| x |}^{3} + 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Langkah 3.7.4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Langkah 3.7.4.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm C {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \frac{C {| x |}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$