Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 1.2.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Langkah 1.2.3.2

Pindahkan $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Langkah 1.2.3.3

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Langkah 1.2.3.4

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Langkah 1.2.3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Langkah 1.2.3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 1.2.3.7

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.2.3.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.2.3.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.3.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.2.3.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}}$

Langkah 1.2.3.7.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2.2.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 2.3.2.3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.3

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ sebagai $e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{x^{\frac{1}{2}}}$