Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(2 y + 1) d y = 1 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 2 y + 1 d y = \int d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 y d y + \int d y = \int d x$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int y d y + \int d y = \int d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int d x$

Langkah 2.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Langkah 2.2.5.2

Sederhanakan.

$y^{2} + y + C_{3} = \int d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$y^{2} + y + C_{3} = x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y^{2} + y = x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} + y - x = K$

Langkah 3.1.2

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} + y - x - K = 0$

Langkah 3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = - x - K$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

Langkah 3.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{K + 4 x + 1}}{2}$