Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - (x + 1) y = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x \frac{d y}{d x} + (- x - 1 \cdot 1) y = 0$

Langkah 1.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + (- x - 1) y = 0$

Langkah 1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x \frac{d y}{d x} - x y - 1 y = 0$

Langkah 1.1.1.4

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$x \frac{d y}{d x} - x y - y = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Tambahkan $x y$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} - y = x y$

Langkah 1.1.2.2

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} = x y + y$

Langkah 1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = x y + y$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = x y + y$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x y}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x y}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y + \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y \frac{1}{x}$

Langkah 1.2.1.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + \frac{1}{x})$

Langkah 1.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x}{x} + \frac{1}{x})$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x + 1}{x}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{x + C} | x |$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{x + C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{x + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{x + C}$ sebagai $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{x} e^{C})$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x})$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x | e^{x}$