Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + y = \sqrt{x}$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Langkah 1.4

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Langkah 1.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = \sqrt{x}$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sqrt{x} d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int \sqrt{x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Pindahkan $x^{1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2

Kalikan $x^{\frac{3}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Pindahkan $x^{- 1}$ .

$y = \frac{2}{3} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.6.2

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.3

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C}{x}$