Kalkulus Contoh

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Langkah 2.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 2.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 2.3.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Langkah 2.3.8

Tulis kembali $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ sebagai $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Langkah 2.3.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Langkah 3

Bagi setiap suku pada $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagilah setiap suku di $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Langkah 3.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Langkah 3.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Langkah 3.3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.6.1

Tulis kembali $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ sebagai $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Langkah 3.3.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$