Kalkulus Contoh

$y d x - x d y = 0$

Langkah 1

Substitusikan $y d$ untuk $yd$ .

$y d x - x d y = 0$

Langkah 2

Kurangkan $y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x d y = - y d x$

Langkah 3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (- x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 4.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Langkah 4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x y}$ ke dalam pembilangnya.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Langkah 4.5.2

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Langkah 4.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Langkah 4.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 4.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 5

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 5.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 6

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Langkah 6.2

Kurangkan $\ln (| x |)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| y |) = C - \ln (| x |)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 6.3.2.2

Bagilah $\ln (| y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 6.3.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 6.3.3.1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

Langkah 6.3.3.1.4

Bagilah $\ln (| x |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (| x |)$

Langkah 6.4

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - C$

Langkah 6.5

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$

Langkah 6.6

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- C}$

Langkah 6.7

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{| x |}$

Langkah 6.8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- C}$

Langkah 6.8.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Langkah 6.8.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Langkah 6.8.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{- C} | x |$

Langkah 6.8.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{- C}$

Langkah 6.8.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- C}$

Langkah 7

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm | x | C$

Langkah 7.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x |$