Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 2.3.3

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 4 \arctan (x) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $\frac{π}{2}$ untuk $y$ padda $y = 4 \arctan (x) + K$ .

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ .

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$π + K = \frac{π}{2}$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $π$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = \frac{π}{2} - π$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $- π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $- π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $2 π$ dengan $π$ .

$K = \frac{- π}{2}$

Langkah 4.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$K = - \frac{π}{2}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{π}{2}$ untuk $K$ dalam $y = 4 \arctan (x) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{π}{2}$ untuk $K$ .

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$