Kalkulus Contoh

$(x + \sin (y) - \cos (y)) d x + x (\sin (y) + \cos (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x + \sin (y) - \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + \sin (y) - \cos (y)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \sin (y) - \cos (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

Langkah 1.3

Turunan dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- \cos (y)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) - \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Langkah 1.4.2

Turunan dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) - - \sin (y)$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + 1 \sin (y)$

Langkah 1.4.4

Kalikan $\sin (y)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y) + \sin (y)$

Langkah 1.5

Tambahkan $0$ dan $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \sin (y)$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x (\sin (y) + \cos (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (\sin (y) + \cos (y))]$

Langkah 2.2

Karena $\sin (y) + \cos (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x (\sin (y) + \cos (y))$ terhadap $x$ adalah $(\sin (y) + \cos (y)) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (\sin (y) + \cos (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (\sin (y) + \cos (y)) \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $\sin (y) + \cos (y)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \sin (y) + \cos (y)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\cos (y) + \sin (y)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\sin (y) + \cos (y)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) + \sin (y) = \sin (y) + \cos (y)$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\cos (y) + \sin (y) = \sin (y) + \cos (y)$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (\sin (y) + \cos (y)) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x (\sin (y) + \cos (y))$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \int \sin (y) + \cos (y) d y$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = x (\int \sin (y) d y + \int \cos (y) d y)$

Langkah 5.3

Integral dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $- \cos (y)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + C + \int \cos (y) d y)$

Langkah 5.4

Integral dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + C + \sin (y) + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + \sin (y) - \cos (y)$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x (- \cos (y) + \sin (y))]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- \cos (y) + \sin (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x (- \cos (y) + \sin (y))$ terhadap $x$ adalah $(- \cos (y) + \sin (y)) \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- \cos (y) + \sin (y)) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(- \cos (y) + \sin (y)) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- \cos (y) + \sin (y)$ dengan $1$ .

$- \cos (y) + \sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + \sin (y) - \cos (y)$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- \cos (y) + \sin (y) + \frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \cos (y)$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - \cos (y) + \sin (y) = x + \sin (y) - \cos (y)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $\cos (y)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y)$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $\sin (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y) - \sin (y)$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x + \sin (y) - \cos (y) + \cos (y) - \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Tambahkan $- \cos (y)$ dan $\cos (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) + 0 - \sin (y)$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $x + \sin (y)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + \sin (y) - \sin (y)$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $\sin (y)$ dengan $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 10

Temukan $x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (- \cos (y) + \sin (y)) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = x (- \cos (y)) + x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x, y) = - x \cos (y) + x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x \cos (y) + x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$