Kalkulus Contoh

$\frac{d N}{d t} + N = N t e^{t}$ , $N (0) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $N$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d N}{d t} = N t e^{t} - N$

Langkah 1.2

Faktorkan $N$ dari $N t e^{t} - N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $N$ dari $N t e^{t}$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) - N$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $N$ dari $- N$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) + N \cdot - 1$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $N$ dari $N (t e^{t}) + N \cdot - 1$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t} - 1)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = t e^{t} - 1$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{N} d N = (t e^{t} - 1) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{N} d N = \int t e^{t} - 1 d t$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{N}$ terhadap $N$ adalah $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} - 1 d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} d t + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{t}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.3

Integral dari $e^{t}$ terhadap $t$ adalah $e^{t}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) - t + C_{3}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - e^{t} - t + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| N |) + C_{1} = e^{t} t - t - e^{t} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$

Langkah 3

Selesaikan $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $N$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| N |)} = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{e^{t} t - t - e^{t} + C} = | N |$

Langkah 3.3

Selesaikan $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ .

$| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

Langkah 3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ .

$| N | = e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$ sebagai $e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$ .

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ dan $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $1$ untuk $N$ padda $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ .

$1 = C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$ .

$C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C e^{0 \cdot 1 + 0 - e^{0}} = 1$

Langkah 6.2.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$C e^{0 + 0 - e^{0}} = 1$

Langkah 6.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C e^{0 + 0 - 1 \cdot 1} = 1$

Langkah 6.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$C e^{0 + 0 - 1} = 1$

Langkah 6.2.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$C e^{0 - 1} = 1$

Langkah 6.2.6

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$C e^{- 1} = 1$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $C e^{- 1} = 1$ dengan $e^{- 1}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $C e^{- 1} = 1$ dengan $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Langkah 6.3.2.1.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Pindahkan $e^{- 1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Langkah 7

Substitusikan $e$ untuk $C$ dalam $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $e$ untuk $C$ .

$N = e e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Langkah 7.2

Kalikan $e$ dengan $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$N = e^{1} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Langkah 7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$N = e^{1 + t e^{t} - t - e^{t}}$