Kalkulus Contoh

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y = \ln (t)$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $(t + 1) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t + 1$ dan $g (t) = y$ .

$(t + 1) \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d t} [y]$ sebagai $y'$ .

$(t + 1) y' + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t + 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t + 1) y' + y (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(t + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Langkah 1.5

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$(t + 1) y' + y (1 + 0)$

Langkah 1.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(t + 1) y' + y \cdot 1$

Langkah 1.7

Substitusikan $\frac{d y}{d t}$ untuk $y'$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Langkah 1.8

Susun kembali $y$ dan $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Langkah 1.9

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [(t + 1) y] = \ln (t)$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [(t + 1) y] d t = \int \ln (t) d t$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$(t + 1) y = \int \ln (t) d t$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (t)$ dan $d v = 1$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $t$ dan $\frac{1}{t}$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Langkah 5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int d t$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$(t + 1) y = \ln (t) t - (t + C)$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ dengan $t + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ dengan $t + 1$ .

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} - \frac{t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Langkah 6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\ln (t) t - t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Langkah 6.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\ln (t) t - t + C}{t + 1}$

Langkah 6.3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (t) t - t + C$ .

$y = \frac{t \ln (t) - t + C}{t + 1}$