Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Langkah 1.4

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Langkah 1.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 5.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 5.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x y = \int x^{- 2} d x$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$x y = - x^{- 1} + C$

Langkah 5.3

Tulis kembali $- x^{- 1} + C$ sebagai $- \frac{1}{x} + C$ .

$x y = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $x y = - \frac{1}{x} + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $x y = - \frac{1}{x} + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$