Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = 3$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y^{2} d y = x^{3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

Langkah 3.4.6

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Langkah 3.4.7

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Langkah 3.4.8.2

Naikkan $\sqrt[3]{4}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Langkah 3.4.8.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Langkah 3.4.8.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Langkah 3.4.8.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ sebagai $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{4}$ sebagai $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 3.4.8.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 3.4.8.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.8.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.8.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Langkah 3.4.8.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Langkah 3.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Langkah 3.4.9.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Langkah 3.4.9.3

Tulis kembali $16$ sebagai $2^{3} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.3.1

Faktorkan $8$ dari $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Langkah 3.4.9.3.2

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Langkah 3.4.9.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Langkah 3.4.9.5

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.5.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Langkah 3.4.9.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

Langkah 3.4.10

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.10.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.4.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.4.10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $2$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ .

$3 = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = 3$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = 3$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 3 \cdot 2$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 6$

Langkah 6.4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = 6^{3}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ sebagai ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Langkah 6.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Sederhanakan ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Langkah 6.4.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Langkah 6.4.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(6 (16 + K))}^{1} = 6^{3}$

Langkah 6.4.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = 6^{3}$

Langkah 6.4.2.2.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.3.1

Kalikan $6$ dengan $16$ .

${(96 + 6 K)}^{1} = 6^{3}$

Langkah 6.4.2.2.1.3.2

Sederhanakan.

$96 + 6 K = 6^{3}$

Langkah 6.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.3.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$96 + 6 K = 216$

Langkah 6.4.3

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1.1

Kurangkan $96$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 K = 216 - 96$

Langkah 6.4.3.1.2

Kurangi $96$ dengan $216$ .

$6 K = 120$

Langkah 6.4.3.2

Bagi setiap suku pada $6 K = 120$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1

Bagilah setiap suku di $6 K = 120$ dengan $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{120}{6}$

Langkah 6.4.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 K}{6} = \frac{120}{6}$

Langkah 6.4.3.2.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{120}{6}$

Langkah 6.4.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.3.1

Bagilah $120$ dengan $6$ .

$K = 20$

Langkah 7

Substitusikan $20$ untuk $K$ dalam $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $20$ untuk $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 20)}}{2}$