Kalkulus Contoh

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ dan $y (0) = 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $e^{- 6 y}$ dari $2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $e^{- 6 y}$ dari $2 t e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $e^{- 6 y}$ dari $- e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $e^{- 6 y}$ dari $e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 6 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{- 6 y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $e^{6 y}$ dengan $1$ .

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = 6 y$ . Kemudian $d u = 6 d y$ sehingga $\frac{1}{6} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = 6 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $6 y$ .

$\frac{d}{d y} [6 y]$

Langkah 2.2.2.1.2

Karena $6$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6 y$ terhadap $y$ adalah $6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2.5

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $6 y$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $6$ .

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $e^{6 y}$ .

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $6 (t^{2} - t + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{6 y})$ dengan memindahkan $6 y$ ke luar logaritma.

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ dengan $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Langkah 3.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $2$ untuk $y$ padda $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

Langkah 6.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $6$ .

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3.1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3.1.1.2.3

Kalikan $- 6$ dengan $0$ .

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3.1.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $0 + 0 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.3.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3.1.1.3.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\ln (K) = 12$

Langkah 6.4

Untuk menyelesaikan $K$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

Langkah 6.5

Tulis kembali $\ln (K) = 12$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{12} = K$

Langkah 6.6

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $K = e^{12}$ .

$K = e^{12}$

Langkah 7

Substitusikan $e^{12}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $e^{12}$ untuk $K$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

Langkah 7.2

Tulis kembali $\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ sebagai $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ .

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

Langkah 7.3

Sederhanakan $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ dengan memindahkan $\frac{1}{6}$ ke dalam logaritma.

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$