Kalkulus Contoh

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y \ln (x) + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y \ln (x) + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $\ln (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y \ln (x)$ terhadap $y$ adalah $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \ln (x) - e^{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Langkah 2.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Langkah 2.3.6

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $1 + \ln (x)$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\ln (x) + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1 + \ln (x)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

Langkah 5.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

Langkah 5.4

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x \ln (x) y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.3.2

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.3.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.3.7

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.4

Karena $- e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Langkah 8.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Langkah 8.6.2.2

Tambahkan $y + y \ln (x)$ dan $0$ .

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Langkah 8.6.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Langkah 9.1.2

Kurangi $y \ln (x)$ dengan $y \ln (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $- \frac{d g}{d x} - y + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $- \frac{d g}{d x}$ dan $0$ .

$0 = - \frac{d g}{d x}$

Langkah 9.1.4

Karena $\frac{d g}{d x}$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 9.1.5

Bagi setiap suku pada $- \frac{d g}{d x} = 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{d g}{d x} = 0$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 9.1.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 9.1.5.2.2

Bagilah $\frac{d g}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

Langkah 9.1.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 10

Temukan $0$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 10.3

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 10.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (x) = C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$