Kalkulus Contoh

$(e^{x} + 1) y d y = (y + 1) e^{x} d x$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) y) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $e^{x} + 1$ dari $(e^{x} + 1) y$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) (y)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Langkah 2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) y) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{y + 1}$ dan $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Langkah 2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $y + 1$ dari $(e^{x} + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Langkah 2.3.2

Faktorkan $y + 1$ dari $(y + 1) e^{x}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

Langkah 2.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{1}{e^{x} + 1}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah $y$ dengan $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Langkah 3.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Langkah 3.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Langkah 3.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 3.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3.2.5

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 3.2.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.2.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.2.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.2.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.2.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3.2.6

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3.2.7

Sederhanakan.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3.2.8

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Biarkan $u_{2} = e^{x} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = e^{x} d x$ sehingga $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Biarkan $u_{2} = e^{x} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Diferensialkan $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Langkah 3.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x} + 0$

Langkah 3.3.1.1.4.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$e^{x}$

Langkah 3.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 3.3.2

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x} + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{4}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \ln (| e^{x} + 1 |) + C$