Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

Langkah 2.3.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Langkah 2.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Langkah 2.3.7.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

Langkah 2.3.7.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

Langkah 2.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $2$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ .

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Langkah 4.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Langkah 4.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Langkah 4.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Langkah 4.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Langkah 4.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.5.1

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

Langkah 4.2.1.5.2

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{3}$ .

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.3

Untuk menuliskan $8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.4

Gabungkan $8$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.6.2

Kurangi $8$ dengan $24$ .

$\frac{16}{3} + K = 0$

Langkah 4.3

Kurangkan $\frac{16}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - \frac{16}{3}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{16}{3}$ untuk $K$ dalam $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{16}{3}$ untuk $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Langkah 5.2.2

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$