Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x + y - 1$

Langkah 1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{2} x - 1$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (\frac{1}{2} x) + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (\frac{1}{2} x) + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{1}{2} e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x}}{2} x + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 3.3.3

Gabungkan $\frac{e^{- x}}{2}$ dan $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 3.3.4

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 3.3.5

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - e^{- x}$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x} y = \int \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{- x} y = \int \frac{x e^{- x}}{2} d x + \int - e^{- x} d x$

Langkah 7.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Langkah 7.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 7.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 7.5.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 7.6

Biarkan $u_{1} = - x$ . Kemudian $d u_{1} = - d x$ sehingga $- d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Biarkan $u_{1} = - x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 7.6.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 7.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 7.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 7.8

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Langkah 7.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Langkah 7.10

Biarkan $u_{2} = - x$ . Kemudian $d u_{2} = - d x$ sehingga $- d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1

Biarkan $u_{2} = - x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 7.10.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 7.10.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.12.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7.12.2

Kalikan $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7.13

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Langkah 7.14

Sederhanakan.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Langkah 7.15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.15.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Langkah 7.15.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Langkah 7.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.16.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x}) + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Langkah 7.16.2

Kalikan $\frac{1}{2} (- x e^{- x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.16.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$e^{- x} y = - \frac{x}{2} e^{- x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Langkah 7.16.2.2

Gabungkan $e^{- x}$ dan $\frac{x}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Langkah 7.16.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Langkah 7.16.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{x e^{- x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Langkah 7.17

Susun kembali suku-suku.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} x e^{- x} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{x}{2} e^{- x} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Langkah 8.1.2

Gabungkan $e^{- x}$ dan $\frac{x}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Langkah 8.1.3

Gabungkan $e^{- x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$ dengan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.2

Untuk menuliskan $e^{- x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.3.1

Gabungkan $e^{- x}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + \frac{e^{- x} \cdot 2}{2} + C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} + \frac{- e^{- x} + e^{- x} \cdot 2}{2} + C}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x - e^{- x} + e^{- x} \cdot 2}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x - e^{- x} + 2 e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.5.1

Tambahkan $- e^{- x}$ dan $2 e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- x e^{- x} + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.5.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.5.3.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- x e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.5.3.2

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.5.3.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.6

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.7.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 2}{2} + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\frac{C \cdot 2 + e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.8.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot C + e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.8.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{\frac{2 C + e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.8.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \frac{\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.8.4

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.9

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x}}{2}$ .

$y = \frac{\frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.10

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.3.11

Kalikan $\frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2}$ dengan $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2 e^{- x}}$