Kalkulus Contoh

$(1 + y) d x = (1 - x) d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(1 - x) d y = (1 + y) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $1 + y$ dari $(1 - x) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Biarkan $u_{2} = 1 - x$ . Kemudian $d u_{2} = - d x$ sehingga $- d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 1 - x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 4.3.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Langkah 5.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = C$

Langkah 5.3

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = C$

Langkah 5.4

Perluas $(1 + y) (1 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = C$

Langkah 5.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = C$

Langkah 5.4.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Langkah 5.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Langkah 5.5.2

Kalikan $- x$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Langkah 5.5.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = C$

Langkah 5.5.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$

Langkah 5.6

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{C}$

Langkah 5.7

Tulis kembali $\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | 1 - x + y - y x |$

Langkah 5.8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 1 - x + y - y x | = e^{C}$ .

$| 1 - x + y - y x | = e^{C}$

Langkah 5.8.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 - x + y - y x = \pm e^{C}$

Langkah 5.8.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x + y - y x = \pm e^{C} - 1$

Langkah 5.8.3.2

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$y - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Langkah 5.8.4

Faktorkan $y$ dari $y - y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.1

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Langkah 5.8.4.2

Faktorkan $y$ dari $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Langkah 5.8.4.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Langkah 5.8.5

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Langkah 5.8.6

Bagi setiap suku pada $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ dengan $1 - x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.6.1

Bagilah setiap suku di $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ dengan $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.8.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.8.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.8.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.8.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Langkah 5.8.6.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1 + x}{1 - x}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$