Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x$ , $y (1) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int x d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int x d x$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.7.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$0 = 1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$ .

$1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Langkah 4.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Langkah 4.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + K = 0$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} + K = 0$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0 + \frac{1}{2} + K = 0$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + K = 0$

Langkah 4.3

Kurangkan $\frac{1}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - \frac{1}{2}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ untuk $K$ dalam $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ untuk $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$