Kalkulus Contoh

$x^{2} d y + (2 x y - x + 1) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(2 x y - x + 1) d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y - x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x + 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y - x + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + 0$

Langkah 2.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x = 2 x$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Langkah 6

Integralkan $N (x, y) = x^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Langkah 7

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y - x + 1$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 x y - x + 1$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Langkah 9.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1$

Langkah 9.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y - x + 1$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1 - 2 x y$

Langkah 10.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x y - x + 1 - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Kurangi $2 x y$ dengan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1 + 0$

Langkah 10.1.2.2

Tambahkan $- x + 1$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1$

Langkah 11

Temukan $- x + 1$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x + 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x + 1 d x$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x + 1 d x$

Langkah 11.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int - x d x + \int d x$

Langkah 11.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x d x + \int d x$

Langkah 11.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Langkah 11.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Langkah 11.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Langkah 11.8

Sederhanakan.

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Langkah 13

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{2}}{2} + x + C$