Kalkulus Contoh

$x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 1.2

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x y - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$0 = y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - y}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x y - y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x y - y$ untuk $N$ .

$\frac{0 - y}{x y - y}$

Langkah 4.3.2

Kurangi $y$ dengan $0$ .

$\frac{- y}{x y - y}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $y$ dari $x y - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{- y}{y x - y}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{- y}{y x + y \cdot - 1}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{x - 1}$

Langkah 4.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{x - 1}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Langkah 5.2

Biarkan $u = x - 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Biarkan $u = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 5.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.2.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 5.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Langkah 5.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x - 1 |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- \ln (| x - 1 |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x - 1 |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x - 1 |}^{- 1} + C$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x - 1 |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$x^{2} \frac{1}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Langkah 6.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x y - y$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) \frac{1}{x - 1} d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $x y - y$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{x y - y}{x - 1} d y = 0$

Langkah 6.5

Faktorkan $y$ dari $x y - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x - y}{x - 1} d y = 0$

Langkah 6.5.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x + y \cdot - 1}{x - 1} d y = 0$

Langkah 6.5.3

Faktorkan $y$ dari $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Langkah 6.6.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Langkah 11.3

Karena $\frac{1}{2} y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Langkah 11.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Langkah 12

Temukan $\frac{x^{2}}{x - 1}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Langkah 12.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Langkah 12.3

Bagilah $x^{2}$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 12.3.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Langkah 12.3.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Langkah 12.3.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Langkah 12.3.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Langkah 12.3.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Langkah 12.3.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Langkah 12.3.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Langkah 12.3.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x - 1$

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Langkah 12.3.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Langkah 12.3.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$g (x) = \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 12.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 12.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 12.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 12.7

Biarkan $u = x - 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.7.1

Biarkan $u = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.7.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 12.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 12.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 12.7.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 12.7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 12.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 12.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \ln (| u |) + C$

Langkah 12.9

Sederhanakan.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |) + C$

Langkah 12.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Langkah 13

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Langkah 14

Sederhanakan $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Langkah 14.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Langkah 14.2

Untuk menuliskan $\ln (| x - 1 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 14.3

Gabungkan $\ln (| x - 1 |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 14.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 14.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Kalikan $\ln (| x - 1 |) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1.1

Susun kembali $\ln (| x - 1 |)$ dan $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Langkah 14.5.1.2

Sederhanakan $2 \cdot \ln (| x - 1 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({| x - 1 |}^{2})}{2} + C$

Langkah 14.5.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x - 1 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({(x - 1)}^{2})}{2} + C$