Kalkulus Contoh

$x (y + 2) d y = (\ln (x) + 1) d x$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Langkah 2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(y + 2) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\ln (x) + 1$ .

$(y + 2) d y = \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y + 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Langkah 3.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Langkah 3.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Langkah 3.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.3

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 3.3.3.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3.3.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int u d u + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Langkah 3.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C_{6}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pernyataan dalam persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$

Langkah 4.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ dengan $2$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ dengan $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 4.2.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 4.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 4.2.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 4.2.3.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| x |)$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Langkah 4.2.3.1.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Langkah 4.3.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (x^{2}) + 2 C$

Langkah 4.4

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (x^{2}) = - y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C$

Langkah 4.5

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$ .

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$

Langkah 4.6

Tambahkan $\ln (x^{2})$ ke kedua sisi persamaan.

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) = 0$

Langkah 4.7

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.8

Substitusikan nilai-nilai $a = - 1$ , $b = - 4$ , dan $c = \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1.2.1

Susun kembali $- 4$ dan $- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.2.2

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.2.4

Tulis kembali $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ sebagai $- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1.3.1

Buang faktor negatif.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.3.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.4

Tulis kembali $4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ sebagai $2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1.4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{2 \cdot - 1}$

Langkah 4.9.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$

Langkah 4.9.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$

Langkah 4.9.4

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Langkah 4.9.5

Tulis kembali $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ sebagai $- (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Langkah 4.10

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

Langkah 5

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$