Kalkulus Contoh

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ dengan $x^{2} - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1^{2}}$

Langkah 1.1.3.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y)$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = (x + 1) (x - 1)$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = (x + 1) (x - 1)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.2.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.2.1.3.4.2

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.2.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.3.2.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.3.2.1.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Langkah 2.3.2.1.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.3.8.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Langkah 2.3.2.1.3.8.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Langkah 2.3.2.1.3.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.8.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.3.2.1.3.8.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.5.3

Kalikan $\int \frac{1}{u} d u$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| (x + 1) (x - 1) |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Langkah 3.5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Sederhanakan $e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Langkah 3.5.3.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Langkah 3.5.3.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Langkah 3.5.3.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Langkah 3.5.3.2.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Langkah 3.5.3.2.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Langkah 3.5.3.2.1.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Langkah 3.5.3.2.1.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Langkah 3.5.3.2.1.2.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Langkah 3.5.3.2.1.2.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 |$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} | x^{2} - 1 |$ .

$| y | = | x^{2} - 1 | e^{C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x^{2} - 1 | e^{C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm | x^{2} - 1 | C$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x^{2} - 1 |$