Kalkulus Contoh

$\frac{y - 1}{- y - 1} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y - 1}{- y - 1} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y - 1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah $y - 1$ dengan $- y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$1$

$y$

$1$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $- y$ .

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				+	$y$	+	$1$

Langkah 2.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + 1$

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$

Langkah 2.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$
						-	$2$

Langkah 2.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int - 1 - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 d y + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- y + C_{1} + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- y + C_{1} - \int \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.5

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{- y - 1} d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.7

Biarkan $u = - y - 1$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Biarkan $u = - y - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.7.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- y + C_{1} - 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- y + C_{1} - 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$- y + C_{1} + 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.11

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} + 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.12

Sederhanakan.

$- y + 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y - 1$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x) + C_{4}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) = \arctan (x) + C$