Kalkulus Contoh

$y d x + 3 x d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x d y = - y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Langkah 3.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$3 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$3 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $3 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln ({| y |}^{3} | x |)} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| y |}^{3} | x |$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ .

${| y |}^{3} | x | = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ dengan $| x |$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ dengan $| x |$ .

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah ${| y |}^{3}$ dengan $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Langkah 5.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$

Langkah 5.5.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{\sqrt[3]{| x |} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.3.2

Naikkan $\sqrt[3]{| x |}$ menjadi pangkat $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1 + 2}}$

Langkah 5.5.4.3.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{3}}$

Langkah 5.5.4.3.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{| x |}}^{3}$ sebagai $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{| x |}$ sebagai ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 5.5.4.3.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 5.5.4.3.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 5.5.4.3.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 5.5.4.3.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{1}}$

Langkah 5.5.4.3.5.5

Sederhanakan.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{| x |}$

Langkah 5.5.4.4

Tulis kembali ${\sqrt[3]{| x |}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{{| x |}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{| x |}^{2}}}{| x |}$

Langkah 5.5.4.5

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$

Langkah 5.5.4.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Langkah 5.5.5

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Langkah 5.5.6

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{| x |}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{| x |}$