Kalkulus Contoh

$x e^{y} d y + (\frac{x^{2} + 1}{y}) d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x^{2} + 1}{y} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x e^{y}$ .

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Langkah 3.5

Terapkan sifat distributif.

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.6.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.4

Susun kembali suku-suku.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$