Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

Langkah 1

Asumsikan semua penyelesaian sebagai bentuk $y = e^{r x}$ .

Langkah 2

Temukan persamaan karakteristik untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Langkah 2.3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Langkah 2.4

Faktorkan $e^{r x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Faktorkan $e^{r x}$ dari $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Langkah 2.4.2

Faktorkan $e^{r x}$ dari $r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Langkah 2.4.3

Faktorkan $e^{r x}$ dari $e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Langkah 2.4.4

Faktorkan $e^{r x}$ dari $- 12 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

Langkah 2.4.5

Faktorkan $e^{r x}$ dari $e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ .

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

Langkah 2.5

Karena eksponensial tidak boleh nol, bagi kedua sisi dengan $e^{r x}$ .

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku ke sisi kiri dari persamaan tersebut dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Kurangkan $5 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

Langkah 3.1.1.2

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

Langkah 3.1.2

Kurangi $8$ dengan $- 12$ .

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

Langkah 3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = - 5 x - 20$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.6

Tambahkan $1$ dan $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.6

Tambahkan $1$ dan $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 3.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 3.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Langkah 3.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Langkah 3.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.3

Terapkan sifat distributif.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.6

Tambahkan $1$ dan $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 3.6.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 3.6.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 3.6.4.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

Langkah 3.6.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Langkah 3.6.4.4

Tulis kembali $- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ sebagai $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Langkah 3.6.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 3.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Langkah 4

Dengan dua nilai yang ditemukan dari $r$ , dua penyelesaan dapat dibuat.

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Langkah 5

Menurut prinsip superposisi, penyelesaian umumnya adalah kombinasi linear kedua penyelesaian untuk persamaan diferensial linear homogen ordo dua.

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Langkah 6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$