Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.4.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.6

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.7

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$y + C_{1} = - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Langkah 2.3.9

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Langkah 4.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (1) + C = 3$

Langkah 4.2.1.4

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \cdot 0 + C = 3$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 0 + C = 3$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 1 - \frac{7}{2}$ dan $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + C = 3$

Langkah 4.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Langkah 4.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Langkah 4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2} + C = 3$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 - 7}{2} + C = 3$

Langkah 4.2.6.2

Kurangi $7$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 9}{2} + C = 3$

Langkah 4.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{9}{2} + C = 3$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $\frac{9}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 3 + \frac{9}{2}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$C = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{3 \cdot 2 + 9}{2}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$C = \frac{6 + 9}{2}$

Langkah 4.3.5.2

Tambahkan $6$ dan $9$ .

$C = \frac{15}{2}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{15}{2}$ untuk $C$ dalam $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{15}{2}$ untuk $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + \frac{15}{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan $5 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + \ln ({| x |}^{5}) + \frac{15}{2}$