Kalkulus Contoh

$\frac{d r}{d θ} = π \sin (π θ)$ , $r (1) = 2$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d r = π \sin (π θ) d θ$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d r = \int π \sin (π θ) d θ$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$r + C_{1} = \int π \sin (π θ) d θ$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $π$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $π$ keluar dari integral.

$r + C_{1} = π \int \sin (π θ) d θ$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = π θ$ . Kemudian $d u = π d θ$ sehingga $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = π θ$ . Tentukan $\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Langkah 2.3.2.1.2

Karena $π$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $π θ$ terhadap $θ$ adalah $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$r + C_{1} = π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $π$ .

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Langkah 2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r + C_{1} = 1 \int \sin (u) d u$

Langkah 2.3.5.3

Kalikan $\int \sin (u) d u$ dengan $1$ .

$r + C_{1} = \int \sin (u) d u$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$r + C_{1} = - \cos (u) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π θ$ .

$r + C_{1} = - \cos (π θ) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$r = - \cos (π θ) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $θ$ dan $2$ untuk $r$ padda $r = - \cos (π θ) + K$ .

$2 = - \cos (π \cdot 1) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \cos (π \cdot 1) + K = 2$ .

$- \cos (π \cdot 1) + K = 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$- \cos (π) + K = 2$

Langkah 4.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- - \cos (0) + K = 2$

Langkah 4.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- (- 1 \cdot 1) + K = 2$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- - 1 + K = 2$

Langkah 4.2.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + K = 2$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 2 - 1$

Langkah 4.3.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$K = 1$

Langkah 5

Substitusikan $1$ untuk $K$ dalam $r = - \cos (π θ) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $1$ untuk $K$ .

$r = - \cos (π θ) + 1$