Kalkulus Contoh

$x (y d) y - (x^{2} + 2) d x = 0$

Langkah 1

Tambahkan $(x^{2} + 2) d x$ ke kedua sisi persamaan.

$x y d y = (x^{2} + 2) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $x^{2} + 2$ .

$y d y = \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Langkah 4.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.3.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.6

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = x^{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y^{2} = x^{2} + 4 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 5.3

Sederhanakan $4 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C$

Langkah 5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C}$

Langkah 5.5

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Langkah 5.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Langkah 5.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Langkah 5.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$