Kalkulus Contoh

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ dengan $x^{2} + y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ dengan $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 1.2

Kalikan $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ dengan $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.3

Kalikan $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ dengan $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 1.6

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.7.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.8

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.9

Gunakan pangkat dari kaidah hasil bagi $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$

Langkah 6.1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.2

Untuk menuliskan $- V$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V \cdot \frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.3.1

Gabungkan $- V$ dan $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} + \frac{- V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.4.1

Faktorkan $V$ dari $V - V (1 + V^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.4.1.1

Naikkan $V$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.1.2

Faktorkan $V$ dari $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.1.3

Faktorkan $V$ dari $- V (1 + V^{2})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.1.4

Faktorkan $V$ dari $V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.4

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.5

Kurangi $V^{2}$ dengan $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.6

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.4.6.1

Buang faktor negatif.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.6.2

Kalikan $V$ dengan $V^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.4.6.2.1

Kalikan $V$ dengan $V^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.4.6.2.1.1

Naikkan $V$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.6.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.4.6.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3.7

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{x (1 + V^{2})}$

Langkah 6.1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4.2

Kalikan $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + V^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V^{2})}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.3.2

Faktorkan $1 + V^{2}$ dari $- (1 + V^{2})$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.3.3

Faktorkan $1 + V^{2}$ dari $(1 + V^{2}) x$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) (x)}$

Langkah 6.1.4.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Langkah 6.1.4.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Langkah 6.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Langkah 6.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Pindahkan $V^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(V^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{3 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $(1 + V^{2}) V^{- 3}$ .

$\int 1 V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Kalikan $V^{- 3}$ dengan $1$ .

$\int V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3.2

Kalikan $V^{2}$ dengan $V^{- 3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int V^{- 3} + V^{2 - 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3.2.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\int V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int V^{- 3} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $V^{- 3}$ terhadap $V$ adalah $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6

Integral dari $V^{- 1}$ terhadap $V$ adalah $\ln (| V |)$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.7.1

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.7.2.1

Kalikan $\frac{1}{V^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.7.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 8

Selesaikan $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Langkah 8.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Langkah 8.3

Kalikan $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{y}{x}$ dan $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Langkah 8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Langkah 8.4.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Langkah 8.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Langkah 8.5.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Langkah 8.5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Langkah 8.5.4

Kalikan $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$