Kalkulus Contoh

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (x)}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x^{2}}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{2}{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{2}{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x y = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$x y = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$x y = 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x y = 2 \ln (| x |) + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x y = 2 \ln (| x |) + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y = \frac{\ln ({| x |}^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \frac{\ln (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$