Kalkulus Contoh

$\frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \frac{1}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $N$ dari $(1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24}))$

Langkah 1.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 π t$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{24}))$

Langkah 1.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $24$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Langkah 1.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Langkah 1.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{π t}{12}))$

Langkah 1.2.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Langkah 1.2.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Langkah 1.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{N} d N = (2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{N} d N = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{N}$ terhadap $N$ adalah $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 d t + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Langkah 2.3.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Langkah 2.3.4

Biarkan $u = \frac{π t}{12}$ . Kemudian $d u = \frac{π}{12} d t$ sehingga $\frac{12}{π} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Biarkan $u = \frac{π t}{12}$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Diferensialkan $\frac{π t}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}]$

Langkah 2.3.4.1.2

Karena $\frac{π}{12}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{π t}{12}$ terhadap $t$ adalah $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 2.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{π}{12} \cdot 1$

Langkah 2.3.4.1.4

Kalikan $\frac{π}{12}$ dengan $1$ .

$\frac{π}{12}$

Langkah 2.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{12}} d u$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{π}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) (1 \frac{12}{π}) d u$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $\frac{12}{π}$ dengan $1$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{12}{π} d u$

Langkah 2.3.5.3

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{12}{π}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u) \cdot 12}{π} d u$

Langkah 2.3.5.4

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $\cos (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{12 \cos (u)}{π} d u$

Langkah 2.3.6

Karena $\frac{12}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{12}{π}$ keluar dari integral.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 (\frac{12}{π} \int \cos (u) d u)$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Gabungkan $\frac{12}{π}$ dan $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{12 \cdot - 2}{π} \int \cos (u) d u$

Langkah 2.3.7.2

Kalikan $12$ dengan $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{- 24}{π} \int \cos (u) d u$

Langkah 2.3.7.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} \int \cos (u) d u$

Langkah 2.3.8

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} (\sin (u) + C_{3})$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (u) + C_{4}$

Langkah 2.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{π t}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π t}{12}) + C_{4}$

Langkah 2.3.11

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + C_{4}$

Langkah 2.3.12

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| N |) + C_{1} = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$

Langkah 3

Selesaikan $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $N$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| N |)} = e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C} = | N |$

Langkah 3.3

Selesaikan $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$ .

$| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gabungkan $\sin (\frac{π}{12} t)$ dan $\frac{24}{π}$ .

$| N | = e^{- \frac{\sin (\frac{π}{12} t) \cdot 24}{π} + 2 t + C}$

Langkah 3.3.2.2

Pindahkan $24$ ke sebelah kiri $\sin (\frac{π}{12} t)$ .

$| N | = e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$ sebagai $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$ dan $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$N = C e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$