Kalkulus Contoh

$5 y \frac{d y}{d x} = 9 x^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$5 y d y = 9 x^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 5 y d y = \int 9 x^{2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int y d y = \int 9 x^{2} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 9 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $5 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ sebagai $5 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$5 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 9 \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ sebagai $9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $9$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 3 x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{5}{2} y^{2} = 3 x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} y^{2}) = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $\frac{2}{5} (\frac{5}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y^{2}}{2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Gabungkan.

$\frac{2 (5 y^{2})}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (5 y^{2})}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.4.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $\frac{2}{5} (3 x^{3} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = \frac{2}{5} (3 x^{3}) + \frac{2}{5} K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $\frac{2}{5} (3 x^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{5}$ .

$y^{2} = \frac{3 \cdot 2}{5} x^{3} + \frac{2}{5} K$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y^{2} = \frac{6}{5} x^{3} + \frac{2}{5} K$

Langkah 3.2.2.1.2.3

Gabungkan $\frac{6}{5}$ dan $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2}{5} K$

Langkah 3.2.2.1.3

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $K$ .

$y^{2} = \frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2 K}{5}$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2 K}{5}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{6 x^{3}}{5} + \frac{2 K}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 x^{3} + 2 K}{5}}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $2$ dari $6 x^{3} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $6 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{3}) + 2 K}{5}}$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{3}) + 2 K}{5}}$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 x^{3} + K)}{5}}$

Langkah 3.4.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 (3 x^{3} + K)}{5}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$

Langkah 3.4.4

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 3.4.5.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 3.4.5.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 3.4.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 3.4.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 3.4.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K)} \sqrt{5}}{5}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (3 x^{3} + K) \cdot 5}}{5}$

Langkah 3.4.6.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{10 (3 x^{3} + K)}}{5}$