Kalkulus Contoh

$4 y \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$4 y d y = 3 x^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 4 y d y = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int y d y = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ sebagai $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$2 y^{2} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y^{2} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$2 y^{2} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$2 y^{2} = x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $2 y^{2} = x^{3} + K$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 y^{2} = x^{3} + K$ dengan $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Langkah 3.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + K}{2}}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\sqrt{\frac{x^{3} + K}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $\frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.3.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Kalikan $\frac{\sqrt{x^{3} + K}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 3.3.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 3.3.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 3.3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 3.3.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.3.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.3.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.3.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + K} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.3.5

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$

Langkah 3.3.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

Langkah 3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

Langkah 3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{3} + K)}}{2}$