Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - y - 5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $5 x^{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} - y - 3 x^{2} + 2 x = 5 x^{4}$

Langkah 1.1.2

Tambahkan $3 x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} - y + 2 x = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Langkah 1.1.3

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} - y = 5 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x$

Langkah 1.2

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - y = 5 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $x$ dari $5 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x^{1}} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{3}}{1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.4.2.5

Bagilah $5 x^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x^{1}} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.5.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.5.2.5

Bagilah $3 x$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.6.2

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x - 2$

Langkah 1.7

Faktorkan $y$ dari $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 5 x^{3} + 3 x - 2$

Langkah 1.8

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 5 x^{3} + 3 x - 2$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.2.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.2.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 \frac{1}{x} x^{3} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} x^{3} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} (x \cdot x^{2}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} (x \cdot x^{2}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Langkah 3.3.7

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 + \frac{- 2}{x}$

Langkah 3.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} y = \int 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{x} y = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 7.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} y = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 7.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 7.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 7.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 7.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 7.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 7.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.9

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 7.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{x} y = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 7.10.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{x} y = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 8.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln ({| x |}^{2}) + C$

Langkah 8.2.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{5 x^{3}}{3} x + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Kalikan $\frac{5 x^{3}}{3} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1.1

Gabungkan $\frac{5 x^{3}}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{5 x^{3} x}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{5 (x^{1} x^{3})}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{5 x^{1 + 3}}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.1.4

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.2.1

Pindahkan $x$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 (x \cdot x) - \ln (x^{2}) x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$

Langkah 8.4.2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - x \ln (x^{2}) + C x$

Langkah 8.4.2.1.4

Pindahkan $- x \ln (x^{2})$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} + C x - x \ln (x^{2})$