Kalkulus Contoh

$2 x (y + 1) d x - (x^{2} + 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $2 x (y + 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- (x^{2} + 1) d y = - 2 x (y + 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Langkah 3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $y + 1$ dari $(x^{2} + 1) (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

Langkah 3.6.2

Faktorkan $y + 1$ dari $x (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Langkah 3.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Langkah 3.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{x^{2} + 1} x d x$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{- 2}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.2

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.3

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.5

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 4.3.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 4.3.4.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Langkah 5.2

Kurangkan $\ln (| x^{2} + 1 |)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Langkah 5.3.2.2

Bagilah $\ln (| y + 1 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Langkah 5.3.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Langkah 5.3.3.1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{1}$

Langkah 5.3.3.1.4

Bagilah $\ln (| x^{2} + 1 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x^{2} + 1 |)$

Langkah 5.4

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x^{2} + 1 |) = - C$

Langkah 5.5

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$

Langkah 5.6

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |})} = e^{- C}$

Langkah 5.7

Tulis kembali $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}$

Langkah 5.8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$

Langkah 5.8.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x^{2} + 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Langkah 5.8.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x^{2} + 1 |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Langkah 5.8.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Langkah 5.8.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- C} | x^{2} + 1 |$ .

$| y + 1 | = | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Langkah 5.8.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Langkah 5.8.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Langkah 5.8.4.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 | - 1$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm C | x^{2} + 1 | - 1$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x^{2} + 1 | - 1$