Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 8 x \sqrt{16 - y^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (8 x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 4$ dan $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 (\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}) (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.2

Naikkan $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.3

Naikkan $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ sebagai $(4 + y) (4 - y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ sebagai ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.4.6.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $8$ dan $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Langkah 1.2.6

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{4^{2} - y^{2}})$

Langkah 1.2.7

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 4$ dan $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$

Langkah 1.2.8

Kalikan $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.8.2

Gabungkan $\frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)}$ dan $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.8.3

Naikkan $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.8.4

Naikkan $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.8.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1})}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.8.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Tulis kembali ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ sebagai $(4 + y) (4 - y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ sebagai ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{1}}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.1.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 ((4 + y) (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.2

Perluas $(4 + y) (4 - y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 (4 - y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.3.1.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.5

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.3.1.5.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.1.5.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.2

Tambahkan $- 4 y$ dan $4 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 0 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.3.3

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.4

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4^{2} - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.9.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 4$ dan $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.10

Batalkan faktor persekutuan dari $4 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Langkah 1.2.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

Langkah 1.2.11

Batalkan faktor persekutuan dari $4 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

Langkah 1.2.11.2

Bagilah $x \cdot 8$ dengan $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 8$

Langkah 1.2.12

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = 8 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}}$ terhadap $y$ adalah $\arcsin (\frac{y}{4})$

$\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1} = \int 8 x d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1}$ sebagai $\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \int 8 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{8}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 4 x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) = 4 x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ambil balikan arcsinus dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam arcsinus.

$\frac{1}{4} y = \sin (4 x^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $y$ .

$\frac{y}{4} = \sin (4 x^{2} + K)$

Langkah 3.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

Langkah 3.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 4 \sin (4 x^{2} + K)$