Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = y^{3} x e^{x^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x e^{x^{2}})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $y^{3} x e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x e^{x^{2}}))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x e^{x^{2}}))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x e^{x^{2}}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 3}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Langkah 2.3.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Langkah 2.3.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{x^{2}}}{2} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 y^{2}, 2, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $2 y^{2}, 2, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $2, 2, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{2}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.5

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.6

KPK dari $2, 2, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 3.2.7

Faktor-faktor untuk $y^{2}$ adalah $y \cdot y$ , yaitu $y$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ terjadi $2$ kali.

Langkah 3.2.8

KPK dari $y^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y \cdot y$

Langkah 3.2.9

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2}$

Langkah 3.2.10

KPK untuk $2 y^{2}, 2, 1$ adalah bagian bilangan $2$ dikalikan dengan bagian variabel.

$2 y^{2}$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{x^{2}}}{2} + K$ dengan $2 y^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{x^{2}}}{2} + K$ dengan $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \frac{e^{x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = 2 \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 1 = 2 \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = e^{x^{2}} y^{2} + K (2 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 1 = e^{x^{2}} y^{2} + 2 K y^{2}$

Langkah 3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x^{2}} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = y^{2} e^{x^{2}} + 2 K y^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y^{2} e^{x^{2}} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$y^{2} e^{x^{2}} + 2 K y^{2} = - 1$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} e^{x^{2}} + 2 K y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} e^{x^{2}}$ .

$y^{2} (e^{x^{2}}) + 2 K y^{2} = - 1$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $2 K y^{2}$ .

$y^{2} (e^{x^{2}}) + y^{2} (2 K) = - 1$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} (e^{x^{2}}) + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K) = - 1$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K) = - 1$ dengan $e^{x^{2}} + 2 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K) = - 1$ dengan $e^{x^{2}} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K)}{e^{x^{2}} + 2 K} = \frac{- 1}{e^{x^{2}} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{2}} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K)}{e^{x^{2}} + 2 K} = \frac{- 1}{e^{x^{2}} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{e^{x^{2}} + 2 K}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}$

Langkah 3.4.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

Langkah 3.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

Langkah 3.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

Langkah 3.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + K}}$