Kalkulus Contoh

$2 x (1 + y^{2}) - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x \cdot 1 + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Langkah 1.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Langkah 1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

Langkah 1.1.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x$

Langkah 1.1.2.2

Kurangkan $2 x y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $y \frac{d y}{d x}$ dari $- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $y \frac{d y}{d x}$ dari $- y \frac{d y}{d x}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

Langkah 1.1.3.2

Faktorkan $y \frac{d y}{d x}$ dari $- y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Langkah 1.1.3.3

Faktorkan $y \frac{d y}{d x}$ dari $y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Langkah 1.1.4

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Langkah 1.1.5

Bagi setiap suku pada $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ dengan $y (- 1 - x^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Bagilah setiap suku di $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ dengan $y (- 1 - x^{2})$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 1 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y}{- 1 - x^{2}}$

Langkah 1.1.5.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$

Langkah 1.1.5.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}} \cdot \frac{y}{y}$

Langkah 1.1.5.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $y (- 1 - x^{2})$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.3.1

Kalikan $\frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{(- 1 - x^{2}) y}$

Langkah 1.1.5.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(- 1 - x^{2}) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.5.1

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x - 2 x y \cdot y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.5.1.1

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.5.1.2

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x y \cdot y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.5.1.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.5.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.5.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y))}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.5.2.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y^{1}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.5.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{1 + 1})}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.5.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.5.3

Tulis kembali $- 1 y^{2}$ sebagai $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.6.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.6.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - (y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.6.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - x^{2})}$

Langkah 1.1.5.3.6.5

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - (x^{2}))}$

Langkah 1.1.5.3.6.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

Langkah 1.1.5.3.6.7

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

Langkah 1.1.5.3.6.8

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kalikan $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ dengan $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $1 + y^{2}$ dari $2 x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$2 y$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.5.3

Kalikan $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Langkah 3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

Langkah 3.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Langkah 3.4.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$

Langkah 3.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}})} = e^{2 C}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$

Langkah 3.7.2

Kalikan kedua ruas dengan ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Langkah 3.7.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Langkah 3.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1

Sederhanakan $e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.1

Tulis kembali ${(1 + x^{2})}^{2}$ sebagai $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} ((1 + x^{2}) (1 + x^{2}))$

Langkah 3.7.4.1.2

Perluas $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 (1 + x^{2}) + x^{2} (1 + x^{2}))$

Langkah 3.7.4.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} (1 + x^{2}))$

Langkah 3.7.4.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Langkah 3.7.4.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.3.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Langkah 3.7.4.1.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Langkah 3.7.4.1.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2})$

Langkah 3.7.4.1.3.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.3.1.4.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2})$

Langkah 3.7.4.1.3.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{4})$

Langkah 3.7.4.1.3.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 2 x^{2} + x^{4})$

Langkah 3.7.4.1.4

Terapkan sifat distributif.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} \cdot 1 + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

Langkah 3.7.4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1.5.1

Kalikan $e^{2 C}$ dengan $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

Langkah 3.7.4.1.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$

Langkah 3.7.4.1.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C}$

Langkah 3.7.4.1.7

Pindahkan $e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C} + e^{2 C}$

Langkah 3.7.4.1.8

Susun kembali $2 x^{2} e^{2 C}$ dan $x^{4} e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}$

Langkah 3.7.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C})$

Langkah 3.7.4.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Langkah 3.7.4.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} C + 2 x^{2} C + C) - 1}$