Kalkulus Contoh

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagi setiap suku pada $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ dengan $e^{- y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Bagilah setiap suku di $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ dengan $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Langkah 1.1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Langkah 1.1.1.2.1.2

Bagilah $1 + \frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\frac{1}{e^{- y}} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ dengan $1$ .

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Kemudian $d u_{2} = e^{- y} d y$ sehingga $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $1 - e^{- y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

Langkah 2.2.2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - e^{- y}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Langkah 2.2.2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Langkah 2.2.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- e^{- y}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Langkah 2.2.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- y$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 2.2.2.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 2.2.2.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- y$ .

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Langkah 2.2.2.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Langkah 2.2.2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 2.2.2.1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

Langkah 2.2.2.1.3.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- y}$ .

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

Langkah 2.2.2.1.3.7

Tulis kembali $- 1 e^{- y}$ sebagai $- e^{- y}$ .

$0 - - e^{- y}$

Langkah 2.2.2.1.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 + 1 e^{- y}$

Langkah 2.2.2.1.3.9

Kalikan $e^{- y}$ dengan $1$ .

$0 + e^{- y}$

Langkah 2.2.2.1.4

Tambahkan $0$ dan $e^{- y}$ .

$e^{- y}$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.4

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 - e^{- y}$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$