Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + x y^{2}}{y + x^{2} y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x$ dari $3 x + x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x$ dari $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x y^{2}}{y + x^{2} y}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $x$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x (y^{2})}{y + x^{2} y}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 3 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (3 + y^{2})}{y + x^{2} y}$

Langkah 1.1.4

Kalikan $x$ dengan $3 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y + x^{2} y}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $y + x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y^{1} + x^{2} y}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot 1 + x^{2} y}$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot 1 + y x^{2}}$

Langkah 1.2.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot (1 + x^{2})}$

Langkah 1.2.5

Kalikan $y$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{3 + y^{2}}{y}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{3 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} (\frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{3 + y^{2}}{y})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $\frac{x}{1 + x^{2}}$ dengan $\frac{3 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y$ dari $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $3 + y^{2}$ dari $x (3 + y^{2})$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{(3 + y^{2}) x}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{(3 + y^{2}) x}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{3 + y^{2}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{3 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 3 + y^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 3 + y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $3 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$2 y$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 3 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 3 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 3 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 1 + x^{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 3.2.2.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Langkah 3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 3 + y^{2} |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Langkah 3.4

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = 2 C$

Langkah 3.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{2 C}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}$

Langkah 3.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{2 C}$

Langkah 3.7.2

Kalikan kedua ruas dengan $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| 1 + x^{2} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 3.7.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| 3 + y^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 3.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 C} | 1 + x^{2} |$ .

$| 3 + y^{2} | = | 1 + x^{2} | e^{2 C}$

Langkah 3.7.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$3 + y^{2} = \pm | 1 + x^{2} | e^{2 C}$

Langkah 3.7.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm | 1 + x^{2} | e^{2 C}$ .

$3 + y^{2} = \pm e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Langkah 3.7.4.4

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm e^{2 C} | 1 + x^{2} | - 3$

Langkah 3.7.4.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 1 + x^{2} | - 3}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + x^{2} | - 3}$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + x^{2} | - 3}$