Kalkulus Contoh

$x (y d) x + (x + 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x + 1) d y = - x y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x + 1$ dari $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y)} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(x + 1) y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (x y) d x$

Langkah 3.3.3

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Langkah 3.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Langkah 3.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 1} x d x$

Langkah 3.4

Gabungkan $\frac{- 1}{x + 1}$ dan $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 1} d x$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 4.3.2

Bagilah $x$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 4.3.2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 4.3.2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 4.3.2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 4.3.2.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 4.3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 4.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 4.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Langkah 4.3.6

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.6.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.3.6.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.3.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.3.7

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

Langkah 4.3.8

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| u |)) + C_{4}$

Langkah 4.3.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{4}$

Langkah 4.3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Langkah 4.3.10.2

Kalikan $- - \ln (| x + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Langkah 4.3.10.2.2

Kalikan $\ln (| x + 1 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| x + 1 |) = - x + C$

Langkah 5.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |})} = e^{- x + C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = \frac{| y |}{| x + 1 |}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$

Langkah 5.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x + 1 |$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x + 1 |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Langkah 5.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Langkah 5.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x + C} | x + 1 |$ .

$| y | = | x + 1 | e^{- x + C}$

Langkah 5.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x + 1 | e^{- x + C}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $e^{- x + C}$ sebagai $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{- x} e^{C})$

Langkah 6.2

Susun kembali $e^{- x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{C} e^{- x})$

Langkah 6.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x + 1 | e^{- x}$