Kalkulus Contoh

$y d x = x (1 + x y^{4}) d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $x (1 + x y^{4}) d y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - x (1 + x y^{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x (1 + x y^{4})]$

Langkah 3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x (1 + x y^{4})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 1 + x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [1 + x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x y^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (0 + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.4

Karena $y^{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y^{4}$ terhadap $x$ adalah $y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \cdot 1) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.6

Kalikan $y^{4}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \cdot 1)$

Langkah 3.4.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Kalikan $1 + x y^{4}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + 1 + x y^{4})$

Langkah 3.4.8.2

Tambahkan $x y^{4}$ dan $x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4} + 1)$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Langkah 3.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Langkah 3.5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y^{4} - 1$

Langkah 3.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y^{4} x - 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 y^{4} x - 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y^{4} x - 1$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 = - 2 y^{4} x - 1$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $- 2 y^{4} x - 1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $- x (1 + x y^{4})$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $- x (1 + x y^{4})$ untuk $N$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) + 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Langkah 5.3.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 y^{4} x + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Langkah 5.3.2.5

Faktorkan $2$ dari $2 y^{4} x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 y^{4} x$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Langkah 5.3.2.5.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2 (1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Langkah 5.3.2.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (y^{4} x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Langkah 5.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $y^{4} x + 1$ dan $1 + x y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Langkah 5.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{- x}$

Langkah 5.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 6.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Langkah 6.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Langkah 6.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Langkah 6.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Langkah 7.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $- x (1 + x y^{4})$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Faktorkan $x$ dari $- x (1 + x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.4.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 7.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 7.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{x^{2}} d x - 1 (1 + x y^{4}) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 7.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 \cdot 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 7.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 7.7

Tulis kembali $- 1 (x y^{4})$ sebagai $- (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 7.8

Kalikan $- 1 - x y^{4}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 - x y^{4}}{x} d y = 0$

Langkah 7.9

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - x y^{4}}{x} d y = 0$

Langkah 7.10

Faktorkan $- 1$ dari $- x y^{4}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y^{4})}{x} d y = 0$

Langkah 7.11

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1 + x y^{4})}{x} d y = 0$

Langkah 7.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y}{x^{2}} d x - \frac{1 + x y^{4}}{x} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 9.2

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$f (x, y) = y \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 9.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 9.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = y \int x^{- 2} d x$

Langkah 9.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = y (- x^{- 1} + C)$

Langkah 9.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Tulis kembali $y (- x^{- 1} + C)$ sebagai $y (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = y (- \frac{1}{x}) + C$

Langkah 9.5.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x} + g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{y}{x} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $- \frac{1}{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- \frac{y}{x}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Langkah 12.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Tambahkan $\frac{1 + x y^{4}}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} + \frac{1 + x y^{4}}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 + 1 + x y^{4}}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.3

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + x y^{4}}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.4

Tambahkan $0$ dan $x y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Langkah 13.1.1.5.2

Bagilah $y^{4}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{4} = 0$

Langkah 13.1.2

Kurangkan $y^{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = - y^{4}$

Langkah 14

Temukan $- y^{4}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{4} d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{4} d y$

Langkah 14.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int y^{4} d y$

Langkah 14.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{4}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Langkah 14.5

Tulis kembali $- (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ sebagai $- \frac{1}{5} y^{5} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Langkah 16

Gabungkan $y^{5}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{y^{5}}{5} + C$